イバコの生存記録

いまは競プロ（AtCoder）記事がメインです。

10. 無理数の無理数乗は無理数か？

数学

タイトルの問題ですが、パッと見「 $\sqrt{2}$ は無理数か？」という教科書問題が思い浮かびます。教科書問題では、 $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ （ $a,b$ は互いに素な非零整数）と仮定して背理法で無理数であることを示します（ $a,b$ ともに偶数であることを示せます）。

これと同じように、 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ を有理数と仮定してみますが、この方針ではこれ以上進めるのは難しいです。「無理数乗」の扱いが難しいんですね。

で、どのように進めれば良いかというと、 ${(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}$ を考えてみます。
${(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{2} = 2$ です。

ここで、 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = c$ と置きます。今わかったことは、 $c^{\sqrt{2}} = 2$ です。

$c$ は有理数か無理数のどちらかになります。

① $c$ を有理数と仮定すると、 $c = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ が有理数になります。
つまり、無理数の無理数乗で有理数になるものが存在します。

② $c$ を無理数と仮定すると、 $c^{\sqrt{2}} = 2$ より無理数の無理数乗で有理数になるものが存在します。

よって、 $c$ が有理数であっても無理数であっても、無理数の無理数乗で有理数になるものが存在しますので、答えは「無理数とは限らない」となります。

この証明が面白いのは、 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ が有理数か無理数か分からなくても反例を挙げられる点です。問題条件を具体化した数についてよく分からないのに、そこから議論が進められるんですね。

不思議な感じですが、こういう推論方法もあるんだなぁ、と思いました。