30. q-p, r-p, r-q が全て素数となる素数組 (p, q, r) を全て求めよ
いい頭の体操になる問題です。
問題
考え方
まず、差に関する条件から となります。
この条件で少し考えてみると、 という組が思い付きます。素数の組で、差はそれぞれ で全て素数です。これ以外に条件を満たす素数組が存在するのか、という所がこの問題の肝となってきます。
2以外の素数は奇数であり、奇数同士の差は偶数となります。素数に関して なので、全て奇数なら は4以上の偶数となり、素数になりません。よって、少なくとも1つが偶数なので、 は確定です。また、残った は奇数となりますが、こちらも が偶数かつ素数、つまり2である必要があります。よって、 であることが確定します。
ここまでの考察で、条件を満たす素数組は であることが分かりました。
この条件で、具体例を少し考えてみましょう。
→ について、
- → (3,5,2)
- → (9,11,2)
- → (15,17,2)
- → (27,29,2)
- → (39,41,2)
…と、 以外の組では が素数にならなさそうです。さらに言えば、3の倍数になりそうに見えます。
ここから、q を mod 3 で分類することを考えてみます。すると、 が必ず3の倍数になることを示せて、条件を満たす素数組はただ1つだけ存在することが分かります。
以上の考察を答案としてまとめてみましょう。
答案
差に関する条件から、 である。
が全て奇数なら、 なので、 となる。また、 は奇数と奇数の差なので偶数となる。よって、 は4以上の偶数となり素数ではない。即ち、 であることが必要。
また、 は奇数となるので、 は偶数となる。よって、 が素数となるには であることが必要。
以下、 の素数組で考える。ある自然数 を用いて または または と表せる。
① の場合
が素数であることから、 であることが必要。すると となるが、 は素数では無いので不適。
② の場合
となり、これは素数では無いので不適。
③ の場合
となり、これが素数となるには が必要。また、このとき であり、この素数組は差の条件を全て満たすので適切。
以上より、求める素数組は のみ。